- 13,579
- 20
- 8 Ноя 2022
Как новое доказательство меняет представление о простых числах.
Эксперты только Для просмотра ссылки Войдиили Зарегистрируйся с гипотезой простых числах близнецах, с одной из нерешённых проблем в теории чисел, которая не поддаётся решению уже более ста лет.
Как это часто бывает в математике, гипотеза относится к категории тех, что легко понять, но невероятно сложно доказать. Числа-близнецы — это два простых числа, разница между которыми составляет всего в две единицы; другими словами, они идут друг за другом, если игнорировать чётные числа. Примеры включают пары 3 и 5, 5 и 7, 17 и 19. На небольших числах таких пар много, но чем дальше по числовой линии, тем они реже встречаются.
Это неудивительно, ведь простые числа среди больших чисел встречаются всё реже. Тем не менее, с древних времён известно, что существует бесконечное количество простых чисел, и гипотеза о двойных простых числах утверждает, что таких пар тоже бесконечно много. Это значит, что независимо от того, как велики значения, всегда найдутся простые числа, которые следуют друг за другом среди нечётных чисел.
Простые числа (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...) — это как фундаментальные частицы в мире натуральных чисел. Они делятся только на 1 и сами на себя. Все остальные натуральные числа можно разложить на простые делители, что делает простые числа основными строительными блоками математического мира.
Доказательство из древности
Математика располагает бесконечным количеством строительных блоков простых чисел. Евклид доказал это более 2000 лет назад с помощью простого мысленного эксперимента. Предположим, что существует конечное количество простых чисел, и самое большое из них — p. Тогда можно перемножить все простые числа до p и добавить 1: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x p + 1. Полученное число не делится ни на одно из существующих простых чисел. Это означает, что число 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x p + 1 либо само является простым, либо имеет простой делитель, которого нет в первоначальном ряде простых чисел. Следовательно, никакой конечный список простых чисел не может быть полным; всегда можно будет создать дополнительные простые числа. Из этого следует, что простых чисел бесконечно много.
Однако не все загадки простых чисел решены. Их распределение на числовой линии остаётся тайной. Хотя известно, что простые числа встречаются всё реже среди больших чисел, невозможно точно определить, как они распределены.
В принципе, среднее расстояние между одним простым числом и следующим равно значению ln(p). Для маленького числа p = 19 это соответствует ln(19) ≈ 3. Для большого простого числа 2,147,483,647 расстояние около 22. Для огромного значения 531,137,992,816,767,098,689,588,206,552,468,627,329,593,117,727,031,923,199,444,138,200,403,559,860,852,242,739,162,502,265,229,285,668,889,329,486,246,501,015,346,579,337,652,707,239,409,519,978,766,587,351,943,831,270,835,393,219,031,728,127 (также простое число) это расстояние составляет около 420.
Как показывают эти примеры, среднее расстояние между простыми числами увеличивается с ростом p. И именно это делает двойные простые числа, которые имеют наименьшее возможное расстояние между ними (за исключением 2 и 3), такими интересными для теоретиков чисел. При увеличении среднего расстояния между простыми числами могло бы показаться, что в какой-то момент больше не будет двойных простых чисел. Однако большинство экспертов считают иначе. Почему, рассуждают они, должно быть некое определённое место на числовой линии, с которого внезапно перестанут появляться двойные простые числа? Что делает это место таким особенным? Теоретики чисел предполагают, что даже если такие пары станут реже, всегда можно будет найти ещё одну.
Компьютерные расчёты пока поддерживают эту точку зрения. Самая большая пара двойных простых чисел, найденная на сегодняшний день, составляет: 2,996,863,034,895 x 21,290,000 + 1 и 2,996,863,034,895 x 21,290,000 – 1, оба числа имеют 388,342 цифры. Однако компьютерные поиски никогда не смогут доказать, что существует бесконечное количество двойных простых чисел. Для этого требуются более мощные методы.
Неожиданный сюрприз
Малоизвестный математик совершил прорыв в 2013 году. Итян Чжан, ранее известный лишь немногим специалистам, опубликовал работу, которая стала сенсацией в мире теории чисел. Ему не удалось доказать гипотезу о двойных простых числах, но он сделал важный шаг в этом направлении, что стало самым значительным прогрессом с момента её формулирования в XIX веке.
Чжан показал, что существует бесконечное количество пар простых чисел вида (p, p + N) с расстоянием N между ними, которое меньше 70 миллионов. Гипотеза о двойных простых числах была бы доказана, если бы он смог доказать это для N = 2. Вместо этого Чжан доказал, что среди всех пар простых чисел с расстоянием менее 70 миллионов есть хотя бы одна пара (p, p + N), которая встречается бесконечно часто.
Этот результат стал огромным шагом вперёд, потому что математики интересуются не только двойными простыми числами, но и другими типами пар простых чисел, такими как пары с расстоянием в четыре (например, 3 и 7 или 19 и 23), так называемые cousin primes, или с расстоянием в шесть (например, 5 и 11 или 11 и 17), так называемые термин sexy primes (от латинского названия числа шесть — sex). В общем, неизвестно, существует ли бесконечное количество таких пар.
Чжан достиг этого удивительного результата, используя так называемые сита простых чисел. Эти конструкции можно представить себе как настоящее сито: все натуральные числа просеиваются через него, и отфильтровываются все значения, которые не являются простыми числами. Хотя сито Эратосфена точно, его сложно применить к конкретным математическим задачам. Использование этого метода для доказательства общих утверждений о простых числах в большинстве случаев выглядит безнадёжным. Поэтому Чжан использовал другое сито, которое отфильтровывает числа с большими простыми делителями. Это сито менее эффективно, но даёт достаточно гибкости для проведения обширных доказательств.
Чжан работал над гипотезой о двойных простых числах в одиночку в течение многих лет — теория чисел не была основной областью его исследований. Эта настойчивость окупилась: Чжан доказал, что существует хотя бы один вид пар простых чисел с расстоянием менее 70 миллионов, который встречается бесконечно часто. И следующий прорыв не заставил себя долго ждать.
Теоретики чисел со всего мира взялись за результат Чжана и попытались его улучшить. Был создан совместный проект, к которому присоединились многие эксперты. Оптимизируя метод Чжана, им удалось сократить максимальное расстояние N между парами простых чисел до значения, максимально приближенного к 2. В течение нескольких месяцев они показали, что существует хотя бы один вид пар простых чисел с максимальным расстоянием 4,680, который встречается бесконечно часто. Примерно в то же время два лауреата Филдсовской премии, Теренс Тао и Джеймс Мейнард, независимо разработали модифицированное сито, которое позволило им сократить это расстояние до 246, что остаётся непревзойдённым результатом на сегодняшний день.
Конкретно это означает, что среди всех пар простых чисел (p, p + N) с расстоянием от 2 до 246 найдётся хотя бы одна пара, которая встречается бесконечно часто. Однако методы просеивания не могут быть обобщены настолько, чтобы снизить результат до N = 2.
Тем не менее, эти результаты отмечают неожиданный прогресс в области, которая оставляет многих экспертов в недоумении. Джеймс Мейнард ясно об этом говорит в видео на YouTube канале Numberphile: «Это одна из интересных и одновременно разочаровывающих вещей в простых числах: часто понятно, каков должен быть правильный ответ... Игра заключается в том, чтобы исключить возможность существования какой-то очень странной закономерности среди простых чисел, которая заставила бы их вести себя совсем не так, как мы полагаем».
Эксперты только Для просмотра ссылки Войди
Как это часто бывает в математике, гипотеза относится к категории тех, что легко понять, но невероятно сложно доказать. Числа-близнецы — это два простых числа, разница между которыми составляет всего в две единицы; другими словами, они идут друг за другом, если игнорировать чётные числа. Примеры включают пары 3 и 5, 5 и 7, 17 и 19. На небольших числах таких пар много, но чем дальше по числовой линии, тем они реже встречаются.
Это неудивительно, ведь простые числа среди больших чисел встречаются всё реже. Тем не менее, с древних времён известно, что существует бесконечное количество простых чисел, и гипотеза о двойных простых числах утверждает, что таких пар тоже бесконечно много. Это значит, что независимо от того, как велики значения, всегда найдутся простые числа, которые следуют друг за другом среди нечётных чисел.
Простые числа (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...) — это как фундаментальные частицы в мире натуральных чисел. Они делятся только на 1 и сами на себя. Все остальные натуральные числа можно разложить на простые делители, что делает простые числа основными строительными блоками математического мира.
Доказательство из древности
Математика располагает бесконечным количеством строительных блоков простых чисел. Евклид доказал это более 2000 лет назад с помощью простого мысленного эксперимента. Предположим, что существует конечное количество простых чисел, и самое большое из них — p. Тогда можно перемножить все простые числа до p и добавить 1: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x p + 1. Полученное число не делится ни на одно из существующих простых чисел. Это означает, что число 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x ... x p + 1 либо само является простым, либо имеет простой делитель, которого нет в первоначальном ряде простых чисел. Следовательно, никакой конечный список простых чисел не может быть полным; всегда можно будет создать дополнительные простые числа. Из этого следует, что простых чисел бесконечно много.
Однако не все загадки простых чисел решены. Их распределение на числовой линии остаётся тайной. Хотя известно, что простые числа встречаются всё реже среди больших чисел, невозможно точно определить, как они распределены.
В принципе, среднее расстояние между одним простым числом и следующим равно значению ln(p). Для маленького числа p = 19 это соответствует ln(19) ≈ 3. Для большого простого числа 2,147,483,647 расстояние около 22. Для огромного значения 531,137,992,816,767,098,689,588,206,552,468,627,329,593,117,727,031,923,199,444,138,200,403,559,860,852,242,739,162,502,265,229,285,668,889,329,486,246,501,015,346,579,337,652,707,239,409,519,978,766,587,351,943,831,270,835,393,219,031,728,127 (также простое число) это расстояние составляет около 420.
Как показывают эти примеры, среднее расстояние между простыми числами увеличивается с ростом p. И именно это делает двойные простые числа, которые имеют наименьшее возможное расстояние между ними (за исключением 2 и 3), такими интересными для теоретиков чисел. При увеличении среднего расстояния между простыми числами могло бы показаться, что в какой-то момент больше не будет двойных простых чисел. Однако большинство экспертов считают иначе. Почему, рассуждают они, должно быть некое определённое место на числовой линии, с которого внезапно перестанут появляться двойные простые числа? Что делает это место таким особенным? Теоретики чисел предполагают, что даже если такие пары станут реже, всегда можно будет найти ещё одну.
Компьютерные расчёты пока поддерживают эту точку зрения. Самая большая пара двойных простых чисел, найденная на сегодняшний день, составляет: 2,996,863,034,895 x 21,290,000 + 1 и 2,996,863,034,895 x 21,290,000 – 1, оба числа имеют 388,342 цифры. Однако компьютерные поиски никогда не смогут доказать, что существует бесконечное количество двойных простых чисел. Для этого требуются более мощные методы.
Неожиданный сюрприз
Малоизвестный математик совершил прорыв в 2013 году. Итян Чжан, ранее известный лишь немногим специалистам, опубликовал работу, которая стала сенсацией в мире теории чисел. Ему не удалось доказать гипотезу о двойных простых числах, но он сделал важный шаг в этом направлении, что стало самым значительным прогрессом с момента её формулирования в XIX веке.
Чжан показал, что существует бесконечное количество пар простых чисел вида (p, p + N) с расстоянием N между ними, которое меньше 70 миллионов. Гипотеза о двойных простых числах была бы доказана, если бы он смог доказать это для N = 2. Вместо этого Чжан доказал, что среди всех пар простых чисел с расстоянием менее 70 миллионов есть хотя бы одна пара (p, p + N), которая встречается бесконечно часто.
Этот результат стал огромным шагом вперёд, потому что математики интересуются не только двойными простыми числами, но и другими типами пар простых чисел, такими как пары с расстоянием в четыре (например, 3 и 7 или 19 и 23), так называемые cousin primes, или с расстоянием в шесть (например, 5 и 11 или 11 и 17), так называемые термин sexy primes (от латинского названия числа шесть — sex). В общем, неизвестно, существует ли бесконечное количество таких пар.
Чжан достиг этого удивительного результата, используя так называемые сита простых чисел. Эти конструкции можно представить себе как настоящее сито: все натуральные числа просеиваются через него, и отфильтровываются все значения, которые не являются простыми числами. Хотя сито Эратосфена точно, его сложно применить к конкретным математическим задачам. Использование этого метода для доказательства общих утверждений о простых числах в большинстве случаев выглядит безнадёжным. Поэтому Чжан использовал другое сито, которое отфильтровывает числа с большими простыми делителями. Это сито менее эффективно, но даёт достаточно гибкости для проведения обширных доказательств.
Чжан работал над гипотезой о двойных простых числах в одиночку в течение многих лет — теория чисел не была основной областью его исследований. Эта настойчивость окупилась: Чжан доказал, что существует хотя бы один вид пар простых чисел с расстоянием менее 70 миллионов, который встречается бесконечно часто. И следующий прорыв не заставил себя долго ждать.
Теоретики чисел со всего мира взялись за результат Чжана и попытались его улучшить. Был создан совместный проект, к которому присоединились многие эксперты. Оптимизируя метод Чжана, им удалось сократить максимальное расстояние N между парами простых чисел до значения, максимально приближенного к 2. В течение нескольких месяцев они показали, что существует хотя бы один вид пар простых чисел с максимальным расстоянием 4,680, который встречается бесконечно часто. Примерно в то же время два лауреата Филдсовской премии, Теренс Тао и Джеймс Мейнард, независимо разработали модифицированное сито, которое позволило им сократить это расстояние до 246, что остаётся непревзойдённым результатом на сегодняшний день.
Конкретно это означает, что среди всех пар простых чисел (p, p + N) с расстоянием от 2 до 246 найдётся хотя бы одна пара, которая встречается бесконечно часто. Однако методы просеивания не могут быть обобщены настолько, чтобы снизить результат до N = 2.
Тем не менее, эти результаты отмечают неожиданный прогресс в области, которая оставляет многих экспертов в недоумении. Джеймс Мейнард ясно об этом говорит в видео на YouTube канале Numberphile: «Это одна из интересных и одновременно разочаровывающих вещей в простых числах: часто понятно, каков должен быть правильный ответ... Игра заключается в том, чтобы исключить возможность существования какой-то очень странной закономерности среди простых чисел, которая заставила бы их вести себя совсем не так, как мы полагаем».
- Источник новости
- www.securitylab.ru
