Новости Доказательство Бога: как Гедель заставил математику заговорить о вере

NewsMaker · 12 Авг 2024

Некоторые математики искали логическое доказательство существования Бога. Вот что они обнаружили

На первый взгляд они кажутся загадочными, но можно пройти их шаг за шагом, чтобы проследить ход мыслей Гёделя. Он начинает с аксиомы, то есть предположения: если у <mi>φ</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">φ<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>φ</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">\varphi</script> есть свойство <mi>P</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">P<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>P</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">P</script>, и из <mi>φ</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">φ<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>φ</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">\varphi</script> всегда следует <mi>ψ</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">ψ<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>ψ</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-4">\psi</script>, то <mi>ψ</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">ψ<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>ψ</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-5">\psi</script> также обладает свойством <mi>P</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">P<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>P</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-6">P</script>. Для простоты можно предположить, что <mi>P</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">P<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>P</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-7">P</script> обозначает "положительное". Например, если фрукт вкусный — это положительное свойство, тогда его употребление в пищу приносит удовольствие. Следовательно, удовольствие от еды также является положительным свойством.

Вторая аксиома дополнительно устанавливает рамки для <mi>P</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">P<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>P</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-8">P</script>. Если противоположность чего-то положительна, то это "что-то" должно быть отрицательным. Таким образом, Гедель разделяет мир на чёрное и белое: либо что-то хорошее, либо плохое. Например, если здоровье — это хорошо, то болезнь обязательно должна быть плохой.

С этими двумя посылками Гедель может вывести свою первую теорему: если <mi>φ</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">φ<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>φ</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-9">\varphi</script> является положительным свойством, то существует вероятность того, что <mi>x</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">x<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>x</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-10">x</script> с таким свойством <mi>φ</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">φ<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>φ</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-11">\varphi</script> существует. То есть, возможно существование положительных вещей.

Теперь математик впервые переходит к определению божественного существа: <mi>x</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">x<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>x</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">x</script> является божественным, если оно обладает всеми положительными свойствами <mi>φ</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">φ<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>φ</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">\varphi</script>. Вторая аксиома гарантирует, что Бог, определённый таким образом, не может иметь отрицательных характеристик (иначе возникло бы противоречие).

Третья аксиома гласит, что божественность — это положительная характеристика. Этот момент трудно оспорить, так как божественность объединяет все положительные характеристики.

Теперь вторая теорема становится немного более конкретной: комбинируя третью аксиому (божественность положительна) и первую теорему (возможно существование чего-то положительного), можно предположить, что может существовать божественное существо <mi>x</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">x<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>x</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">x</script>.

Цель Геделя теперь состоит в том, чтобы показать на следующих шагах, что Бог должен существовать в рамках заданных предпосылок. Для этого он вводит во втором определении понятие "сущность" <mi>φ</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">φ<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>φ</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">\varphi</script> объекта <mi>x</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">x<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>x</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-16">x</script>, характерное свойство, которое определяет все остальные характеристики. Примером может служить "щенковость": если что-то обладает этим свойством, оно обязательно милое, пушистое и неуклюжее.

Четвёртая аксиома на первый взгляд не кажется слишком интересной. Она просто утверждает, что если что-то положительно, то оно всегда положительно — независимо от времени, ситуации или места. Быть "щенковым" и быть вкусным, например, всегда положительно, будь то днём или ночью, в Гейдельберге, Германия, или Буэнос-Айресе.

Теперь Гедель может сформулировать третью теорему: если существо <mi>x</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">x<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>x</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">x</script> является божественным, то божественность является его сущностным свойством. Это имеет смысл, так как если что-то является божественным, оно обладает всеми положительными характеристиками — и, следовательно, свойства <mi>x</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">x<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>x</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-18">x</script> фиксированы. Следующий шаг относится к существованию конкретного существа. Если где-то хотя бы одно существо <mi>y</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">y<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>y</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-19">y</script> обладает свойством <mi>φ</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">φ<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>φ</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-20">\varphi</script>, которое является сущностным свойством <mi>x</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">x<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>x</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-21">x</script>, то <mi>x</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">x<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>x</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-22">x</script> также существует. Иными словами, если что-то обладает свойствами щенка, то щенки также должны существовать.

Согласно пятой аксиоме, существование является положительным свойством. Большинство людей согласится с этим.

Из этого можно заключить, что Бог существует, так как это существо обладает всеми положительными свойствами, а существование является положительным.

Как оказалось, логические выводы Геделя верны — даже компьютеры смогли это доказать. Тем не менее, эти выводы также подверглись критике. Помимо аксиом, которые, конечно, можно оспорить (почему мир должен делиться на «добро» и «зло»?), Гедель не даёт более подробной информации о том, что такое положительное свойство.

Это правда, что с помощью определений и аксиом можно описать множество <mi>P</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">P<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>P</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-23">P</script> математически:

Если свойство принадлежит множеству, его отрицание не включается.
Множество самодостаточно.
Сущность множества имеет только характеристики множества и само является элементом множества.
Множество всегда содержит одни и те же элементы — независимо от ситуации.
Существование является частью множества.
Если <mi>φ</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">φ<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>φ</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-24">\varphi</script> является частью множества, то свойство иметь <mi>φ</mi></math>" role="presentation" style="font-size: 121%; position: relative;">φ<math xmlns="Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся"><mi>φ</mi></math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-25">\varphi</script> в качестве сущности множества также включено в множество.

Однако всё это не гарантирует, что это множество уникально. Могут существовать несколько коллекций, удовлетворяющих требованиям. Например, как Для просмотра ссылки Войди или Зарегистрируйся , можно построить случаи, когда, по определению Геделя, существует более 700 божественных сущностей, различающихся по сущности.

Этот факт не разрешает окончательный вопрос о существовании одного (или нескольких) божественных существ. Является ли математика действительно правильным способом ответа на этот вопрос, также остаётся под сомнением — хотя размышления об этом весьма захватывающи.

Поиск

Новости Доказательство Бога: как Гедель заставил математику заговорить о вере

NewsMaker

I'm just a script

Похожие темы